Informacje dla kandydatów

Analiza matematyczna I

Stacks Image 362
W trakcie tego wykładu zapoznasz się z pojęciem ciągu, granicy ciągu, szeregami, podstawowymi kryteriami zbieżności szeregów, ciągłością funkcji, różniczkowaniem, wzorem Taylora, całką Riemana oraz szeregami potęgowymi. Wszystkie wymienione zagadnienia dotyczą funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.

Centralnym punktem tego wykładu jest następujący wzór:

$$\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt = f(x)$$

gdzie \(f\) jest ciągła funkcją zmiennej rzeczywistej. Jest to tak zwane Podstawowe Twierdzenie Rachunku Całkowego. Udowodnił je Isaac Barrow, nauczyciel Issaca Newtona. Do zrozumienia tego wzoru potrzebne jest rozumienie całki Riemana oraz pojęcia różniczkowania. Łączy on w piękny sposób różniczkowania z całkowaniem.

Nawet tak klasyczny wykład jak ten jest specjalnie przygotowany dla Informatyków. Pod koniec tego wykładu zapoznasz się z pojęciem szeregu potęgowego oraz klasy kombinatorycznej. Pojęcie to będzie wykorzystywane w przyszłości na wykładzie z Matematyki Dyskretnej.

Analizę Matematyczną stworzył Isaak Newton (to jego portret znajduje się na tej stronie). Czasami zalicza się ją do tak zwanej "matematyki wyższej". Jest to jednak dużą przesadą. Newton żył około 300 lat temu. Ucząc się Analizy Matematycznej I zapoznajesz się więc, po prostu, z historią nauki. Pamiętaj, że Analiza Matematyczna jest podstawą ścisłego wykształcenia wyższego.

Analiza matematyczne jest niezbędna informatykowi!!! Bez jej opanowania nie można zrozumieć działania większości algorytmów. Oto pierwszy z brzegu przykład: tak podstawowe pojęcie jak \(f=O(g)\) jest równoważne temu, że \(\lim \sup |f(n)/g(n)|\) jest skończone. Informatyk musi umieć dobrze rozumieć zdania typu "algorytm sortowania przez scalanie używa \(O(n \ln(n))\) porównań". A to tylko jeden z najprostszych przykładów.

W szkole średniej mogłeś już zapoznać się z wieloma zagadnieniami poruszanymi na tym wykładzie. Bądź jednak ostrożny: w szkole średniej posługiwałeś się nieprecyzyjnymi pojęciami. Na przykład, czy wiesz z jakiej własności liczb rzeczywistych wynika twierdzenie Darboux o wartości średniej? Czy umiesz w pamięci rozwinąć funkcję \(f(x) = 1 + x + 2 x^2\) w szereg Taylora w punkcie \(0\)?

Dodatkowe materiały

Katedra Informatyki
Politechnika Wrocławska
Wydział Podstawowych Problemów Techniki